<<當作自己帶孩子學數學的提醒>>

 

 

一對一數學診斷與教學的基本技巧

 

作者  唐宗浩

from: 光塵屋 at 2008~2010

◎寫在前面

 

這個系列主題是:如何作數學科的一對一學習診斷與教學。

 

設定的對象主要是家長。一對一、超小班教學的老師亦可參考。

 

適用的學生從學習挫折到資優生皆可。但是如有閱讀障礙、符號障礙等學習障礙,仍需佐以相關的特教專業。

特性是:不需要專業教學經驗,也不需要專業的數學知識,即可開始實踐。

 

本文提到的技巧,背後的理論並不是新的;這些技巧也不是新的。但是它們確實簡明有效,故在此分享。

 

每期刊出一篇,是為了讓有心的讀者有時間去實踐。如果一次介紹太多方法,可能會像教科書一樣,讓人望之生畏,而不願實踐。

               

◎倒溯法  (1/7)

 

『君子務本,本立而道生』--《論語》

 

在教小孩數學的時候,大家都有過這種經驗:講了好幾遍,小孩還是不會。

這種情況小孩挫折,大人也挫折。大人這時很容易上情緒,或許會罵小孩笨。

我也會遇到挫折,但是不會罵小孩笨。

罵小孩笨一點好處都沒有,還不如去想:怎麼讓他學會?

為什麼他肯努力卻學不會?為什麼這麼簡單的題目他就是搞不懂?

十之八九,答案會是:先備知識有漏洞。

數學的知識像一張網子,又像一座多尖頂的塔。有學者用鷹架來比喻,很貼切。

每一個知識的環節,都有它的幾個先備知識,而那些先備知識,又有它們各自的先備知識...

先備知識不牢,要更上一層樓自然就會困難重重。

比方說:要學多位數的乘法(直式),需要哪些先備知識呢?

首先,他要懂什麼是乘法、什麼是十進位系統,還要能掌握乘法的分配性(像16乘以5,會等於10乘以5再加上6乘以5),還有乘10、乘100的特殊結果,另外也要會九九乘法表,才能作出完整正確的計算。

如果學生學習直式乘法有困難,我會問他先備知識的問題,像是『12乘以100 =?』、『13乘以5            =?』或『你會背九九乘法表嗎?』,逐一去問,來瞭解是哪個環節有漏洞。

發現漏洞後,就去教漏洞處的知識。

如果經過一些引導,小孩就能懂,那就可以順利把漏洞補上。

如果還是不懂,那就重覆前一個步驟,再往回追溯更基礎的先備知識,一直追溯到數數兒都不為過。

這個過程同時是診斷也是教學,相當重要。我稱它為『倒溯法』。

 

◎前推法 (2/7)

 

『牽一髮,動全身』--成語

 

上節談到先備知識。

 

如果AB先備知識,我們可以說BA的後續知識。

當一個知識環節有漏洞時,它的後續知識必然也不紮實。

 

比方說,三角函數是畢式定理的後續知識。

如果小孩對什麼是畢氏定理、如何推導都不清楚,那麼他在三角函數方面的知識,肯定是結構鬆散的。

 

小學的乘法也是如此。如果連加法都不能掌握,就不可能掌握乘法。

這樣的小孩,就算會背九九乘法表,也只是死記下來的,因為他不瞭解乘法表裡面的數學結構。

 

這不能怪小孩,因為他也不知道自己哪裡有漏洞、哪個環節不紮實。

因此,才需要協助。

 

如果在教學過程中,用倒溯法找到了一個根本的漏洞A,也教會了小孩。那麼馬上可以知道,A的後續BCD,就是接下來的目標。

 

因為原本不懂A,所以他的BCD一定都是漏洞。

打鐵趁熱,在剛剛明白A的情況下,他在一貫的脈絡下,接著去學BCD,肯定事半功倍。

而且學習後續知識的過程,也是在複習先備知識A

 

舉例而言,如果長方形的面積公式原理是漏洞,那麼補完它後,平行四邊形、三角形和梯形的面積公式原理,就是接下來的目標。

 

同理,如果配方法是漏洞,那麼補完它後,一元二次方程式的公式解就是接下來的目標。

 

其實,追蹤後續知識的方法,對需要延伸的小孩,也很有用。

資優與程度較高的小孩,常會覺得課內的東西太簡單、太無聊,沒法子填飽他的胃口。

如果像一些所謂的『資優班』那樣,在同樣的小範圍中,出一推鑽牛角尖、刁難人的題目,無疑是抹殺他們的才智。

 

追蹤後續知識的方法,可以找到他實際的程度,避免在已經會的東西上打轉。我們可以一直前推到超出範圍,不受限於課本,接觸更深更廣的題材。這樣他們才會有真正的興趣和成就感。

 

上節的『倒溯法』是從不會的地方開始,由前往後,追蹤先備知識。

 

從會了的地方開始,由後往前,追蹤後續知識的方法,我稱為『前推法』。

 

 

◎具體經驗 (3/7)

 

『太上,不知有之;其次,親之譽之。』--《道德經》

 

前兩節談到了倒溯法和前推法。

把它們交互運用,可以在知識體系中織起密實的網子,搭起堅固的鷹架,補舊的破洞、做新的拓展。

 

不過,知識環節只是數學的骨架,而不是血肉。

 

有時候會遇到這樣的情況:

 

7乘以6是多少?』『七六...七六...不知道。』

『那你知道6乘以7是多少嗎?』『六七...六七...42。』

7乘以66乘以7會一樣嗎?』『會。』

『為什麼?』『7667一樣啊。』

 

在知識上,這個小孩懂得乘法的意義和交換性,但是這個知識並沒有內化、變成一種自然而然的感覺。

所以當他背不出『七六』的時候,不會想到用『六七』來替代。

 

或者像是:

 

『半斤是8兩,那麼一兩是幾斤呢?』『8斤。』

8斤?8斤比半斤多還是少?』『多。』

『那怎麼會是8斤呢?再想想。』『嗯...要先除2再乘8嗎?』

 

這是量感的問題。

如果幫他把圖畫出來,他多半會算。但是他對單位之間的關係沒有感覺。

 

數學能力的血肉,就是這種感覺。對數字的感覺,長度、重量、時間、面積的感覺,均分的經驗,機率感、策略運用等等。

 

在國中小和學齡前,這種感覺主要是靠遊戲和具體活動來建立的。

 

任何遊戲,只要用到策略,就和數學經驗有關。

不只是樸克牌、圍棋、魔法牌,連紅綠燈、大風吹、桌球、籃球,都是豐富的經驗來源。

單車、爬竿、捉蟲,用身體得到的經驗,也是相當寶貴的。

 

數學並不是加、減、乘、除、算一算答案,那叫算術;也不是公理、定義、定理,那叫公理系統。

數學是在尋找變動的世界背後,不變的秩序,並且把它用符號表現出來,讓大家都能理解、運用。

因此,很多看起來不是數學的東西,都能提供富豐的數學經驗。

 

以廚藝為例。

 

看食譜、考慮人數,是比例的經驗;不同大小的匙、量杯一杯和一格的區別,是單位的經驗;切菜、切蛋糕,是分數的經驗;火候的調控,是時間與函數的經驗。

 

在測量麵粉重量的時候、在目測茸絲長度的時候,就經驗到了數學;在設定烤箱溫度的時候、在把蛋汁打均的時候,就經驗到了數學。

 

每一種工藝,每一樣文明的產物,都有它的秩序、策略和條理。

小孩在從事它們的時候,並不會說『啊!這是分數』、『啊!這是比例』、『酷!座標變換!』。但是,無論是廚藝、武術、縫紉、繪畫、魔術,這些動手又動腦的經驗,都會使小孩的數學感變得豐富。

 

豐富的數學感,有助於學習數學、有助於內化數學、有助於把數學應用到生活。

如此,小孩才能用其所學,不會一直追問:數學有什麼用?

 

 

 

◎繞道法--迴避心理障礙  (4/7)

 

『明修棧道,暗渡陳倉』--成語

       

前面提到了倒溯、前推兩種整理知識體系的方法,還有如何用具體經驗建立數學感。

這三種方法,在指導不排拒數學的小孩時,已經很夠用了。

 

不過呢,對於排拒數學的小孩,還不足夠。他往往一看到sincos或是聽到『小數除法』就馬上腦袋打結,變得一片空白,無法運作。

 

這種情況完全是心理障礙。這個心理障礙應該被瞭解、被尊重。

就像被狗咬過的人會怕狗、被虎頭蜂螫過的人會怕蜂一樣。學數學的過程中,曾遇過巨大的挫折或羞辱的人,當然會怕數學。

 

恐懼會使人無法正常反應,原本會的都想不起來、簡單的都無法理解。

因此,與其花大力去攻他害怕的、舊的主題,還不如先著力於新的主題。

在新的主題上,重新建立成就感,可以慢慢消解掉對數學的恐懼,讓腦袋能夠轉動。

 

只要新的主題和舊的主題相關,這種成功經驗就可以過渡。

比方說,如果小孩怕分數,又沒學過小數,就可以先不管分數,直接教小數。

因為小數可以透過尺上的刻度來教,對懂得十進位的小孩,非常自然,所以不難學會。

 

等到學會小數的概念後,再來學他所怕的分數,也就不那麼難了。

因為小數是十等分、百等分、千等分;分數只是換成二等分、五等分之類的罷了。

 

0.3就是3/100.16就是16/1000.5就是5/10、也是1/2

有小數概念和刻度尺(數線),要理解分數自然事半功倍。

 

我也試過不使用『除法』這個名字和相關的符號,直接用『平均分配』、『64人,3人一排,能排幾排?剩幾人?』之類的問題,讓怕除法的小孩願意去思考除法。

 

心理障礙很微妙。每個小孩情況不同,有時候把舊的主題換個名字、暫時不使用符號、編入遊戲之中,換湯不換藥,也就能避開了。

 

數學的知識體系是網狀的,不是一直線向上。大部份的知識環節間,都沒有『先備-後續』關係。

因此,不必太執著於『幾年級』的範圍。

只要是小孩不怕的、有興趣的、能理解的就好,課本把它編在幾年級並不重要。

 

面對心理障礙時,這種『先著力於新主題,再回頭補舊主題』的策略,我稱它為『繞道法』。

 

 

◎主客易位法  (5/7)

 

『人都願意改變,只是不喜歡被改變』--西諺

 

前面提到了倒溯、前推、具體經驗和繞道法。

本節介紹一種和倒溯、前推相關,但是更強力的方法。這也是我最喜歡的方法。

 

在複習一整學期、一整年甚至三年的範圍時,小孩往往會不知從何下手。

很多人寫了一大堆題目,把自己弄得頭昏眼花,效果還是很有限,為什麼呢?

 

其實,在寫題目之前,有更基本的工夫,就是把觀念整理清楚。

這就像是蓋房子要先打地基。地基不穩,再怎麼蓋,很快也就垮壞了。

 

要整理觀念的話,在每個章節寫一兩題,不會的地方查課本,徹底弄懂,也就夠了。在整理觀念的階段,過度操練絕對有害無益。大量練習只有在觀念清楚之後才有好處。

 

如果小孩的表達能力還不錯,下面的複習方法相當有益:

 

方法就是反客為主,不是我去教他,而是他來教我。我常說『把我當成不會的人』。

 

比方說,有一次幫朋友複習國中三年的範圍,我就請他帶著課本,把我當成不會的人來教。

過程中,每當我覺得邏輯怪怪的、聽不懂,就會提出來問。如果他說不出個所以然,代表這部份觀念不清,是個漏洞。

一發現漏洞所在,我就針對它來講解。講解完了,再回頭扮演『學生』的角色,聽他講述。

 

其實,只要小孩能清楚解釋的概念,他自己一定就是會的。

反之,無法解釋的部份,一定就是知識系統的漏洞。

 

這就像要清一條河的水道,就讓水自己去流,遇到卡住的地方再去清理即可。

當小孩發現自己解釋不出來時,也會比較虛心向學、認真聽講。

不然,無論幫他複習什麼,他可能都會說:我學過了!我已經會了!

 

這個清水道的過程有幾個優點:

 

第一,它很有效率。

第二,雙方的角色完全是合作的,而不是對立的。

第三,小孩在過程中會培養自己組織知識、檢視知識和表達的能力。

第四,大人就算自己完全不懂,還是可以用這種方法,幫小孩複習,自己也順便學一點數學。

 

最後,當小孩解釋不出來時,千萬不要罵他笨。

這個方法是在找他需要補強之處,所以有很多解釋不出來的地方是應該的。

大人應該慶幸:我終於瞭解,他在這麼基礎的地方也需要幫忙。

 

這種方法我十分喜歡。

不只作為教學技巧,它也是我常用的學習方法。

向別人講解的過程中,可以溫故知新。往往學到最多的,是教的人。

讓小孩扮演『教』的角色,徹底複習觀念的技巧,我稱它為『主客易位法』。

 

 

◎面對錯誤 (6/7)

                                       

『人非聖賢,熟能無過?知過能改,善莫大焉。』--諺語

               

前幾篇提到:診斷與教學合一的倒溯法、前推法、主客易位法,以及具體經驗和心理障礙的考量。

這一篇探討另外的主題:如何面對小孩的計算錯誤?

               

數學常見的解題錯誤大至可分為三類,包含閱讀錯誤、計算錯誤、觀念錯誤。

前幾篇介紹的方法,對觀念錯誤相當有效。本篇探討如何面對閱讀和計算錯誤。

 

『閱讀錯誤』是指誤解問題、或無法把問題用數學式表達,造成的錯誤。

 

如果題目要算8的開立方,但是寫的人看成8的開平方,當然後面都會錯。這跟觀念與計算都無關。

如果小孩常犯閱讀錯誤,應該加強的是語文、閱讀能力,而不是計算能力。

 

有些小孩雖然看得懂題目的敘述,卻不知道怎麼把它畫成易懂的圖表、寫成好算的式子,這就需要一些示範和演練,來增進『轉譯』的能力。

 

無論是看不懂題意,或是轉譯的困難,其實都是語文的範圍。

數學的語言,就像外語一樣,有它的文法和習慣。把中文轉譯成英文,和把中文轉譯成數學符號,是類似的過程。

 

當小孩對抽象符號不太能掌握時,學著用圖形、表格當中介,相當有益。我在大學學習抽象的數學時,也還是靠輔助圖形來幫助自己理解。

 

接下來讓我們來看『計算錯誤』。

 

『計算錯誤』通常被當作粗心大意,似乎只要小心點、多練習就會好。

 

在小學高年級和國中,許多小孩觀念還不錯,卻因計算錯誤而被家長、老師過度指責,造成不必要的挫折感,打擊自信,相當可惜。

 

其實對大部份的小孩來說,計算完美無瑕是不可能的。這種要求也不合理。

合理的要求是:錯誤率不要太高,而且自己有辦法找出錯誤。

 

應該讓小孩養成留下計算過程的習慣。

如果他有用算式、輔助圖來解題,就應該保留這些過程,不要一算出答案就把它們擦掉。

計算過程不必非常美觀,但是至少要讓他自己能看懂。

 

為什麼要建立留下記錄的習慣呢?

不是為了不犯錯,是為了能除錯。

只要小孩還有學習動力,除錯法就比直接訂正好。

 

當小孩計算出錯時,別忘了先肯定他的觀念正確。

再來,不要指出錯在哪裡,只要告訴他說這題有算錯,請他自己找出來訂正。

只要計算過程清楚,通常小孩都可以自己找到錯處,自己訂正。

真的不行時,再講出錯在哪裡也不遲。

除錯的能力,也是一種自我檢視的能力。

對小孩而言,學習如何記錄、如何除錯,比去為『永不出錯』拼命,更人性、也更有意義,不是嗎?

 

 

◎適度的練習 (7/7)

 

「譬如為山,未成一簣,止,吾止也;譬如平地,雖覆一簣,進,吾往也。」 -- 《論語》

「過度操練會折損天才」這句話大家耳熟能詳。但是,朱佳仁老師的名言:「資優生更需要磨練基本功」卻鮮為人知。

 

不只資優生,任何學數學的人,面對反覆的工具操練,多半不覺有趣,只因必要,所以勉而為之。就像籃球選手要投得準,必須經歷反覆定點投籃的練習,比之自由對抗,當然無趣得多。只是大家都知道,唯有練好準頭,在自由對抗時才能充份發揮。

 

數學上,怎樣的操練叫過度?怎樣的操練叫適度呢?

 

首先,在沒有概念的情況下去操練,是有害的。如果根本沒概念,那麼操練的只是機械動作,結果是硬背了計算程序卻不明其意,大大不好。

 

因此,如果遇到沒有概念的練習題,要先把概念學起來,或是邊練邊學,總之不能硬背解題程序。

 

先備概念不清"是指導者的介入點。如果學生自己沒有察覺,就要介入來幫助他。

 

具體的方式是另外拿一張白紙來解釋概念,確定懂了再回頭寫題目。

 

再者,已經熟練了還反覆操練相同的題型,是有害的。所謂熟練就是不用花很多力氣思考,可以直接依以知的程序流暢解題。到這種程度就該進階了,紙張上的題目數量是參考用,不一定要全寫完。

 

可以使用一個簡單的規則:如果學生覺得自己都會了,就一口氣連寫三題,如果都對,同類型的題目就可以跳過不寫,直接走下個階梯。這種方法可以確定是否真的熟練,也能讓小孩依自己的速度前進,避免過度操練。

 

有的小孩曾被不當地要求「就算會了也要乖乖寫完」,而養成了不利的學習習慣。因此,「已經熟練了」的情況也是指導者的介入點。讓學生知道「連寫三題都對可跳關」的規則,就能幫助他回到自己的速度。(如果不是三題全對表示還不夠熟,要再練幾下)

 

操練是一個從會到熟的過程。如果完全不會,就要先學再練;如果已經熟達,那就應該進到生活應用,或是走下個階梯。只有會而不熟的工具能力,才是需要練習的。

 

教材是死的,教學是活的。一個好的操練課堂,就是把個別教學溶入練習的節奏。學和練要像左右腳那樣,相互搭配向前。

 

在家自學或其他一對一的情境,也是一樣的原則。



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