<<當作自己帶孩子學數學的提醒>>
一對一數學診斷與教學的基本技巧
作者 唐宗浩
from: 光塵屋 at 2008~2010
◎寫在前面
這個系列主題是：如何作數學科的一對一學習診斷與教學。
設定的對象主要是家長。一對一、超小班教學的老師亦可參考。
適用的學生從學習挫折到資優生皆可。但是如有閱讀障礙、符號障礙等學習障礙，仍需佐以相關的特教專業。
特性是：不需要專業教學經驗，也不需要專業的數學知識，即可開始實踐。
本文提到的技巧，背後的理論並不是新的；這些技巧也不是新的。但是它們確實簡明有效，故在此分享。
每期刊出一篇，是為了讓有心的讀者有時間去實踐。如果一次介紹太多方法，可能會像教科書一樣，讓人望之生畏，而不願實踐。
◎倒溯法 (1/7)
『君子務本，本立而道生』--《論語》
在教小孩數學的時候，大家都有過這種經驗：講了好幾遍，小孩還是不會。
這種情況小孩挫折，大人也挫折。大人這時很容易上情緒，或許會罵小孩笨。
我也會遇到挫折，但是不會罵小孩笨。
罵小孩笨一點好處都沒有，還不如去想：怎麼讓他學會？
為什麼他肯努力卻學不會？為什麼這麼簡單的題目他就是搞不懂？
十之八九，答案會是：先備知識有漏洞。
數學的知識像一張網子，又像一座多尖頂的塔。有學者用鷹架來比喻，很貼切。
每一個知識的環節，都有它的幾個先備知識，而那些先備知識，又有它們各自的先備知識...
先備知識不牢，要更上一層樓自然就會困難重重。
比方說：要學多位數的乘法（直式），需要哪些先備知識呢？
首先，他要懂什麼是乘法、什麼是十進位系統，還要能掌握乘法的分配性（像16乘以5，會等於10乘以5再加上6乘以5），還有乘10、乘100的特殊結果，另外也要會九九乘法表，才能作出完整正確的計算。
如果學生學習直式乘法有困難，我會問他先備知識的問題，像是『12乘以100 =?』、『13乘以5 =?』或『你會背九九乘法表嗎？』，逐一去問，來瞭解是哪個環節有漏洞。
發現漏洞後，就去教漏洞處的知識。
如果經過一些引導，小孩就能懂，那就可以順利把漏洞補上。
如果還是不懂，那就重覆前一個步驟，再往回追溯更基礎的先備知識，一直追溯到數數兒都不為過。
這個過程同時是診斷也是教學，相當重要。我稱它為『倒溯法』。
◎前推法 (2/7)
『牽一髮，動全身』--成語
上節談到先備知識。
如果A是B先備知識，我們可以說B是A的後續知識。
當一個知識環節有漏洞時，它的後續知識必然也不紮實。
比方說，三角函數是畢式定理的後續知識。
如果小孩對什麼是畢氏定理、如何推導都不清楚，那麼他在三角函數方面的知識，肯定是結構鬆散的。
小學的乘法也是如此。如果連加法都不能掌握，就不可能掌握乘法。
這樣的小孩，就算會背九九乘法表，也只是死記下來的，因為他不瞭解乘法表裡面的數學結構。
這不能怪小孩，因為他也不知道自己哪裡有漏洞、哪個環節不紮實。
因此，才需要協助。
如果在教學過程中，用倒溯法找到了一個根本的漏洞A，也教會了小孩。那麼馬上可以知道，A的後續B、C、D，就是接下來的目標。
因為原本不懂A，所以他的B、C、D一定都是漏洞。
打鐵趁熱，在剛剛明白A的情況下，他在一貫的脈絡下，接著去學B、C、D，肯定事半功倍。
而且學習後續知識的過程，也是在複習先備知識A。
舉例而言，如果長方形的面積公式原理是漏洞，那麼補完它後，平行四邊形、三角形和梯形的面積公式原理，就是接下來的目標。
同理，如果配方法是漏洞，那麼補完它後，一元二次方程式的公式解就是接下來的目標。
其實，追蹤後續知識的方法，對需要延伸的小孩，也很有用。
資優與程度較高的小孩，常會覺得課內的東西太簡單、太無聊，沒法子填飽他的胃口。
如果像一些所謂的『資優班』那樣，在同樣的小範圍中，出一推鑽牛角尖、刁難人的題目，無疑是抹殺他們的才智。
追蹤後續知識的方法，可以找到他實際的程度，避免在已經會的東西上打轉。我們可以一直前推到超出範圍，不受限於課本，接觸更深更廣的題材。這樣他們才會有真正的興趣和成就感。
上節的『倒溯法』是從不會的地方開始，由前往後，追蹤先備知識。
從會了的地方開始，由後往前，追蹤後續知識的方法，我稱為『前推法』。
◎具體經驗 (3/7)
『太上，不知有之；其次，親之譽之。』--《道德經》
前兩節談到了倒溯法和前推法。
把它們交互運用，可以在知識體系中織起密實的網子，搭起堅固的鷹架，補舊的破洞、做新的拓展。
不過，知識環節只是數學的骨架，而不是血肉。
有時候會遇到這樣的情況：
『7乘以6是多少？』『七六...七六...不知道。』
『那你知道6乘以7是多少嗎？』『六七...六七...42。』
『7乘以6和6乘以7會一樣嗎？』『會。』
『為什麼？』『7個6和6個7一樣啊。』
在知識上，這個小孩懂得乘法的意義和交換性，但是這個知識並沒有內化、變成一種自然而然的感覺。
所以當他背不出『七六』的時候，不會想到用『六七』來替代。
或者像是：
『半斤是8兩，那麼一兩是幾斤呢？』『8斤。』
『8斤？8斤比半斤多還是少？』『多。』
『那怎麼會是8斤呢？再想想。』『嗯...要先除2再乘8嗎？』
這是量感的問題。
如果幫他把圖畫出來，他多半會算。但是他對單位之間的關係沒有感覺。
數學能力的血肉，就是這種感覺。對數字的感覺，長度、重量、時間、面積的感覺，均分的經驗，機率感、策略運用等等。
在國中小和學齡前，這種感覺主要是靠遊戲和具體活動來建立的。
任何遊戲，只要用到策略，就和數學經驗有關。
不只是樸克牌、圍棋、魔法牌，連紅綠燈、大風吹、桌球、籃球，都是豐富的經驗來源。
單車、爬竿、捉蟲，用身體得到的經驗，也是相當寶貴的。
數學並不是加、減、乘、除、算一算答案，那叫算術；也不是公理、定義、定理，那叫公理系統。
數學是在尋找變動的世界背後，不變的秩序，並且把它用符號表現出來，讓大家都能理解、運用。
因此，很多看起來不是數學的東西，都能提供富豐的數學經驗。
以廚藝為例。
看食譜、考慮人數，是比例的經驗；不同大小的匙、量杯一杯和一格的區別，是單位的經驗；切菜、切蛋糕，是分數的經驗；火候的調控，是時間與函數的經驗。
在測量麵粉重量的時候、在目測茸絲長度的時候，就經驗到了數學；在設定烤箱溫度的時候、在把蛋汁打均的時候，就經驗到了數學。
每一種工藝，每一樣文明的產物，都有它的秩序、策略和條理。
小孩在從事它們的時候，並不會說『啊！這是分數』、『啊！這是比例』、『酷！座標變換！』。但是，無論是廚藝、武術、縫紉、繪畫、魔術，這些動手又動腦的經驗，都會使小孩的數學感變得豐富。
豐富的數學感，有助於學習數學、有助於內化數學、有助於把數學應用到生活。
如此，小孩才能用其所學，不會一直追問：數學有什麼用？
◎繞道法--迴避心理障礙 (4/7)
『明修棧道，暗渡陳倉』--成語
前面提到了倒溯、前推兩種整理知識體系的方法，還有如何用具體經驗建立數學感。
這三種方法，在指導不排拒數學的小孩時，已經很夠用了。
不過呢，對於排拒數學的小孩，還不足夠。他往往一看到sin、cos或是聽到『小數除法』就馬上腦袋打結，變得一片空白，無法運作。
這種情況完全是心理障礙。這個心理障礙應該被瞭解、被尊重。
就像被狗咬過的人會怕狗、被虎頭蜂螫過的人會怕蜂一樣。學數學的過程中，曾遇過巨大的挫折或羞辱的人，當然會怕數學。
恐懼會使人無法正常反應，原本會的都想不起來、簡單的都無法理解。
因此，與其花大力去攻他害怕的、舊的主題，還不如先著力於新的主題。
在新的主題上，重新建立成就感，可以慢慢消解掉對數學的恐懼，讓腦袋能夠轉動。
只要新的主題和舊的主題相關，這種成功經驗就可以過渡。
比方說，如果小孩怕分數，又沒學過小數，就可以先不管分數，直接教小數。
因為小數可以透過尺上的刻度來教，對懂得十進位的小孩，非常自然，所以不難學會。
等到學會小數的概念後，再來學他所怕的分數，也就不那麼難了。
因為小數是十等分、百等分、千等分；分數只是換成二等分、五等分之類的罷了。
像0.3就是3/10、0.16就是16/100、0.5就是5/10、也是1/2。
有小數概念和刻度尺（數線），要理解分數自然事半功倍。
我也試過不使用『除法』這個名字和相關的符號，直接用『平均分配』、『64人，3人一排，能排幾排？剩幾人？』之類的問題，讓怕除法的小孩願意去思考除法。
心理障礙很微妙。每個小孩情況不同，有時候把舊的主題換個名字、暫時不使用符號、編入遊戲之中，換湯不換藥，也就能避開了。
數學的知識體系是網狀的，不是一直線向上。大部份的知識環節間，都沒有『先備-後續』關係。
因此，不必太執著於『幾年級』的範圍。
只要是小孩不怕的、有興趣的、能理解的就好，課本把它編在幾年級並不重要。
面對心理障礙時，這種『先著力於新主題，再回頭補舊主題』的策略，我稱它為『繞道法』。
◎主客易位法 (5/7)
『人都願意改變，只是不喜歡被改變』--西諺
前面提到了倒溯、前推、具體經驗和繞道法。
本節介紹一種和倒溯、前推相關，但是更強力的方法。這也是我最喜歡的方法。
在複習一整學期、一整年甚至三年的範圍時，小孩往往會不知從何下手。
很多人寫了一大堆題目，把自己弄得頭昏眼花，效果還是很有限，為什麼呢？
其實，在寫題目之前，有更基本的工夫，就是把觀念整理清楚。
這就像是蓋房子要先打地基。地基不穩，再怎麼蓋，很快也就垮壞了。
要整理觀念的話，在每個章節寫一兩題，不會的地方查課本，徹底弄懂，也就夠了。在整理觀念的階段，過度操練絕對有害無益。大量練習只有在觀念清楚之後才有好處。
如果小孩的表達能力還不錯，下面的複習方法相當有益：
方法就是反客為主，不是我去教他，而是他來教我。我常說『把我當成不會的人』。
比方說，有一次幫朋友複習國中三年的範圍，我就請他帶著課本，把我當成不會的人來教。
過程中，每當我覺得邏輯怪怪的、聽不懂，就會提出來問。如果他說不出個所以然，代表這部份觀念不清，是個漏洞。
一發現漏洞所在，我就針對它來講解。講解完了，再回頭扮演『學生』的角色，聽他講述。
其實，只要小孩能清楚解釋的概念，他自己一定就是會的。
反之，無法解釋的部份，一定就是知識系統的漏洞。
這就像要清一條河的水道，就讓水自己去流，遇到卡住的地方再去清理即可。
當小孩發現自己解釋不出來時，也會比較虛心向學、認真聽講。
不然，無論幫他複習什麼，他可能都會說：我學過了！我已經會了！
這個清水道的過程有幾個優點：
第一，它很有效率。
第二，雙方的角色完全是合作的，而不是對立的。
第三，小孩在過程中會培養自己組織知識、檢視知識和表達的能力。
第四，大人就算自己完全不懂，還是可以用這種方法，幫小孩複習，自己也順便學一點數學。
最後，當小孩解釋不出來時，千萬不要罵他笨。
這個方法是在找他需要補強之處，所以有很多解釋不出來的地方是應該的。
大人應該慶幸：我終於瞭解，他在這麼基礎的地方也需要幫忙。
這種方法我十分喜歡。
不只作為教學技巧，它也是我常用的學習方法。
向別人講解的過程中，可以溫故知新。往往學到最多的，是教的人。
讓小孩扮演『教』的角色，徹底複習觀念的技巧，我稱它為『主客易位法』。
◎面對錯誤 (6/7)
『人非聖賢，熟能無過？知過能改，善莫大焉。』--諺語
前幾篇提到：診斷與教學合一的倒溯法、前推法、主客易位法，以及具體經驗和心理障礙的考量。
這一篇探討另外的主題：如何面對小孩的計算錯誤？
數學常見的解題錯誤大至可分為三類，包含閱讀錯誤、計算錯誤、觀念錯誤。
前幾篇介紹的方法，對觀念錯誤相當有效。本篇探討如何面對閱讀和計算錯誤。
『閱讀錯誤』是指誤解問題、或無法把問題用數學式表達，造成的錯誤。
如果題目要算8的開立方，但是寫的人看成8的開平方，當然後面都會錯。這跟觀念與計算都無關。
如果小孩常犯閱讀錯誤，應該加強的是語文、閱讀能力，而不是計算能力。
有些小孩雖然看得懂題目的敘述，卻不知道怎麼把它畫成易懂的圖表、寫成好算的式子，這就需要一些示範和演練，來增進『轉譯』的能力。
無論是看不懂題意，或是轉譯的困難，其實都是語文的範圍。
數學的語言，就像外語一樣，有它的文法和習慣。把中文轉譯成英文，和把中文轉譯成數學符號，是類似的過程。
當小孩對抽象符號不太能掌握時，學著用圖形、表格當中介，相當有益。我在大學學習抽象的數學時，也還是靠輔助圖形來幫助自己理解。
接下來讓我們來看『計算錯誤』。
『計算錯誤』通常被當作粗心大意，似乎只要小心點、多練習就會好。
在小學高年級和國中，許多小孩觀念還不錯，卻因計算錯誤而被家長、老師過度指責，造成不必要的挫折感，打擊自信，相當可惜。
其實對大部份的小孩來說，計算完美無瑕是不可能的。這種要求也不合理。
合理的要求是：錯誤率不要太高，而且自己有辦法找出錯誤。
應該讓小孩養成留下計算過程的習慣。
如果他有用算式、輔助圖來解題，就應該保留這些過程，不要一算出答案就把它們擦掉。
計算過程不必非常美觀，但是至少要讓他自己能看懂。
為什麼要建立留下記錄的習慣呢？
不是為了不犯錯，是為了能除錯。
只要小孩還有學習動力，除錯法就比直接訂正好。
當小孩計算出錯時，別忘了先肯定他的觀念正確。
再來，不要指出錯在哪裡，只要告訴他說這題有算錯，請他自己找出來訂正。
只要計算過程清楚，通常小孩都可以自己找到錯處，自己訂正。
真的不行時，再講出錯在哪裡也不遲。
除錯的能力，也是一種自我檢視的能力。
對小孩而言，學習如何記錄、如何除錯，比去為『永不出錯』拼命，更人性、也更有意義，不是嗎？
◎適度的練習 (7/7)
「譬如為山，未成一簣，止，吾止也；譬如平地，雖覆一簣，進，吾往也。」 -- 《論語》
「過度操練會折損天才」這句話大家耳熟能詳。但是，朱佳仁老師的名言：「資優生更需要磨練基本功」卻鮮為人知。
不只資優生，任何學數學的人，面對反覆的工具操練，多半不覺有趣，只因必要，所以勉而為之。就像籃球選手要投得準，必須經歷反覆定點投籃的練習，比之自由對抗，當然無趣得多。只是大家都知道，唯有練好準頭，在自由對抗時才能充份發揮。
數學上，怎樣的操練叫過度？怎樣的操練叫適度呢？
首先，在沒有概念的情況下去操練，是有害的。如果根本沒概念，那麼操練的只是機械動作，結果是硬背了計算程序卻不明其意，大大不好。
因此，如果遇到沒有概念的練習題，要先把概念學起來，或是邊練邊學，總之不能硬背解題程序。
先備概念不清"是指導者的介入點。如果學生自己沒有察覺，就要介入來幫助他。
具體的方式是另外拿一張白紙來解釋概念，確定懂了再回頭寫題目。
再者，已經熟練了還反覆操練相同的題型，是有害的。所謂熟練就是不用花很多力氣思考，可以直接依以知的程序流暢解題。到這種程度就該進階了，紙張上的題目數量是參考用，不一定要全寫完。
可以使用一個簡單的規則：如果學生覺得自己都會了，就一口氣連寫三題，如果都對，同類型的題目就可以跳過不寫，直接走下個階梯。這種方法可以確定是否真的熟練，也能讓小孩依自己的速度前進，避免過度操練。
有的小孩曾被不當地要求「就算會了也要乖乖寫完」，而養成了不利的學習習慣。因此，「已經熟練了」的情況也是指導者的介入點。讓學生知道「連寫三題都對可跳關」的規則，就能幫助他回到自己的速度。（如果不是三題全對表示還不夠熟，要再練幾下）
操練是一個從會到熟的過程。如果完全不會，就要先學再練；如果已經熟達，那就應該進到生活應用，或是走下個階梯。只有會而不熟的工具能力，才是需要練習的。
教材是死的，教學是活的。一個好的操練課堂，就是把個別教學溶入練習的節奏。學和練要像左右腳那樣，相互搭配向前。
在家自學或其他一對一的情境，也是一樣的原則。
<< 全文完 >>
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